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橢圓及其標準方程

2006-01-08 00:00:00   來源:   關注:

 

§2.7橢圓及其標準方程

【指導思想】

本課時是數學思想方法與學生思維動手并舉,貫徹“學生為主體,教師為指導”的教學原則,如橢圓定義的歸納概括,焦點在y軸上的橢圓標準方程的遷移都體現了數學思想方法,方程的推導過程充分體現學生動手思維能力,力求體現素質教育的精神.

【教學目的】

    1.使學生理解橢圓的定義并掌握橢圓標準方程,通過定義的導入使學生學習歸納概括能力,通過標準方程的推導培養學生的計算能力

    2.正確把握兩種標準方程及圖形的異同

【教學重點】定義及標準方程

【教學難點】標準方程的推導過程

【教學方法】引導探究法

【教學用具】一根線和兩個圖釘

【教學課時】二課時¾第一課時

【教學過程】

.復習引入:

    老師:在實際生活中,我們經常見到:汽車上拉的油罐的橫截面、一些家俱上的鏡子的外框線、衛星的運行軌道等等,都是橢圓,那么橢圓是如何定義的呢?

    老師:拿一根線在其兩端拴兩個圖釘,把圖釘釘在黑板上兩點F1F1,使F1F2的長小于線長,用粉筆把線拉緊,使粉筆頭在黑板上慢慢移動,就畫出了橢圓.

    根據我們的作圖過程讓學生自己總結橢圓的定義.

.新授:

    學生:1. 定義:平面內與兩個定點F1F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.

    2.定義理解:

    老師:提出問題:同學們是否想過如果剛才的常數小于或等于|F1F2|,那么點的軌跡又如何呢?

    學生:讓同學們討論以后回答.老師:進一步強調常數大于|F1F2|的重要性.

    3.標準方程的推導:

    首先請同學們回憶:

    師生:(1)求曲線方程有幾步?(2)選擇坐標系的原則和方法是什么?

    學生:結合本題請同學們討論該問題應如何選擇坐標系,結合學生建立坐標系的情況,讓學生在不同的坐標系中推導橢圓方程.

    老師:首先提醒學生令|F1F2|=2c,常數為2a(至于原因后面再解釋)

    學生:在學生推導過程中,根據學生推導情況提示學生化簡帶兩個根號相加的等式時應注意的方式方法.

    老師:化簡過程中當出現(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2- c2),a2- c2=b2,把方程化簡成下列形式:

    x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)

    以上方程叫做橢圓的標準方程

    老師:注意:(1)推導方程時,只所以令|F1F2|=2c,令定長等于2a, a2- c2=b2,這是為什么?

師生:其一是為了標準方程形式上簡單而矣. 其二這樣的b有其幾何意義.

    老師:從推導結果看選取坐標系時,取線段的中點為坐標原點比取線段的端點為坐標原點更好.請思考為什么?

  學生:學生回答,必要時教師可從對稱角度提示學生考慮.

    老師:利用遷移和發散思維方法請同學們推測,如果把F1F2放在y軸上, F1F2的中點選為原點,那么橢圓的標準方程又如何呢?圖形如何?

    學生:y2/a2+x2/b2=1(a>b>0)

    師生:4.兩種標準方程的共同點:

    (1)a>b>0

(2)c2= a2 - b2

    (3)焦點總在分母大的哪個分數的分子所代表的坐標軸上,反之亦然

    (4)Ax2+By2=C,只要ABC同號,就是橢圓的方程.

    5.例題

    老師:平面內兩個定點的距離為8,寫出到這兩個定點的距離的和是10的點的軌跡的方程.

    師生:解:由定義軌跡是橢圓,2a=10,2c=8,    

a=5,c=4, b=3.

    選取上面推導標準方程的兩種坐標系,這個橢圓的標準方程是

    x2/25+y2/9=1y2/25+x2/9=1

【課堂練習】P 116 23

【課堂小結】師生共同小結:

    1.正確理解定義,特別是定義中的2a>2c的含義

    2.認真領會橢圓標準方程的推導過程,要注意運算技巧

    3.把握兩種標準方程的異同點

【課后作業】P117123

【教學后記】

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